本系列所有題目均為Acwing課的內容，發表博客既是為了學習總結，加深自己的印象，同時也是為了以后回過頭來看時，不會感嘆虛度光陰罷了，因此如果出現錯誤，歡迎大家能夠指出錯誤，我會認真改正的。同時也希望文章能夠讓你有所收獲，與君共勉！
昨天被并查集折磨了一天，今天終于可以放松點了。那么今天就主要來學習堆的操作。
這里的堆主要為大頂堆和小頂堆，他們都是以完全二叉樹作為數據結構的（完全二叉樹不清楚的可以自己去百度下），而完全二叉樹一般用數組模擬。接下來談談堆能干什么，我們知道每個父節點比子節點的值要大的堆是大頂堆，那么最大值也就是堆頂嘍，小頂堆同理，最小值也是堆頂，有了這樣的數據結構我們就能以\(O(1)\)的時間復雜度獲得最大值和最小值，而堆的主要操作分別是插入一個元素，刪除一個元素，修改一個元素，獲得集合中最小的元素。具體的就在下面講吧。
模擬堆
維護一個集合，初始時集合為空，支持如下幾種操作：
I x，插入一個數 x；
PM，輸出當前集合中的最小值；
DM，刪除當前集合中的最小值（數據保證此時的最小值唯一）；
D k，刪除第 k 個插入的數；
C k x，修改第 k 個插入的數，將其變為 x；
現在要進行 N 次操作，對于所有第 2 個操作，輸出當前集合的最小值。
輸入格式
第一行包含整數 N。
接下來 N 行，每行包含一個操作指令，操作指令為 I x，PM，DM，D k 或 C k x 中的一種。
輸出格式
對于每個輸出指令 PM，輸出一個結果，表示當前集合中的最小值。
每個結果占一行。
數據范圍1≤N≤105?109≤x≤109
數據保證合法。
輸入樣例：8I -10PMI -10D 1C 2 8I 6PMDM
輸出樣例：-106
算法原理
初始化
剛剛我們知道堆是用數組實現的完全二叉樹h[N]，除此之外要想實現堆操作，還需要定義cnt始終指向堆中最后一個結點（其實這時的cnt就是這個元素在堆中的下標）和進來的順序m，以及表示存儲x是第幾個進來的數組hp[N]和存儲第m個進來的數在堆h[N]中所對應的下標ph[N]。（這里m和cnt在數組都是從1開始，這樣初始化m=cnt=0時就要先++m,++cnt）。
差點忘了，建立一個堆就是不斷下沉元素的過程。
插入一個元素
在堆中我們插入一個元素是給h[cnt] = x，同時需要記錄這個元素是第幾個進來的hp[cnt] = m以及這時進來的元素在堆中存儲的下標也要被存儲起來ph[m] = cnt，并且將這個元素上浮down(k)（因為是存儲在堆最后的位置的）來尋找這個元素應該在堆中存儲的位置。
cin >> x;
++cnt,++m;
h[cnt] = x;
hp[cnt] = m,ph[m] = cnt;
up(cnt);
刪除任意一個元素
眾所周知，數組刪除可以用覆蓋來代替，那么如果我們需要刪除第k個數，我們通常會用最后一個數覆蓋他（方便），這里的覆蓋就是堆交換heap_swap(k,cnt)，然后調整最后一個數到它應該到的位置，即上浮下沉一遍up(k).down(k)，從樹的角度就是把最后一個數看看是往上走，還是往下走。
修改結點值
修改跟刪除一樣h[k] = x，刪除完之后就調整修改后節點的位置，即上浮下沉一遍。
獲得集合里的最值
這個更簡單，下標為1的結點就是堆頂h[1]，就是最大值或最小值，直接輸出就行。
這些操作中就有堆的核心操作，上浮和下沉，還有堆交換（比較難理解），接下來就來介紹這些核心操作，以小頂堆為例。
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由小頂堆的性質我們可以知道，如果一個節點比他的父節點小，那么我們就需要把他上浮，那么怎么上浮呢，我們可以一直比較該節點與其父節點的大小，如果比它小，就進行堆交換，那么什么時候停止呢？當該節點比父節點要大時就滿足小頂堆性質了，可以停止循環，還有一種情況就是該結點就是最小值，那么它就會到這個堆的堆頂去，即當前節點的下標為1時也要停止循環。
void up(int x){
while(x/2 || h[x/2] > h[x]){
heap_swap(x,x/2);
x >>= 1;
}
}
下沉（參數是元素在堆中的下標）
同理，如果一個結點值比他的子節點要大，他就要下沉，由于子節點有兩個-左右兒子，因此需要比較與子節點的大小，如果滿足條件就先堆交換在下沉，不斷下沉直至到達合適的位置，當然要是不滿足條件就不必下沉。
void down(int x){
int t = x;
if(2*x <= cnt && h[2*x] < h[t]) t=x*2;
if(2*x+1 <= cnt && h[2*x+1] < h[x]) t=2*x+1;
if(x!=t){
heap_swap(x,t);
down(t);
}
}
堆交換（參數是元素在堆中的下標）
對于x，y兩個數，首先要知道他們當前在堆中的下標a,b然后才能heap_swap(a,b)，那么怎么交換這兩個數在堆中的位置呢。
首先就得要知道他們什么時候進來的hp[a],hp[b]，交換這個順序在堆中存儲的下標swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]])。
然后交換他們進來的先后順序swap(hp[a],hp[b])。
最后在交換在堆中的值swap(h[a],h[b])。
void heap_swap(int a,int b){
swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
swap(hp[a],hp[b]);
swap(h[a],h[b]);
}
代碼實現
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000010;
int h[N]; // 存儲堆的值
int hp[N]; // 下標為a所對應的數--表示一種順序
int ph[N]; // 第k個數所對應的下標a--指針
int cnt,m; // 最后一個數
// 交換三組:
// 1.對這兩個數的下標所對應的順序值，第幾個值(順序值)在堆中所對應的下標進行交換
// 2.先交換存儲在ph中某兩個相對(插入的順序)的數所指向堆中的下標
// 3.最后交換a，b這兩個位置的值
void heap_swap(int a,int b){
swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
swap(hp[a],hp[b]);
swap(h[a],h[b]);
}
void down(int x){
int t = x;
if(x * 2 <= cnt && h[2*x] < h[t]) t = 2*x;
if(x * 2 + 1 <= cnt && h[2*x + 1] < h[t]) t = 2*x+1;
if(x != t){
heap_swap(x,t); // 交換x，t，與堆排序的不同，這里使用的是heap_swap,只需要提供下標，再函數內部堆下標所指向的數及進行排序
down(t);
}
}
void up(int x){
while(x / 2 && h[x/2] > h[x]){ // x/2
heap_swap(x,x/2);
x >>= 1;
}
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
while(n--){
string op;
int x,k;
cin >> op;
if(op == "I"){
cin >> x;
++cnt,++m;
h[cnt] = x; // cnt所對應存儲在堆h中的值
ph[m] = cnt,hp[cnt] = m; // cnt是下標，m是第幾個數，都從1開始
up(cnt); // 插入位置的元素上浮
}
else if(op == "D"){ // 刪除：刪除第k個數，那就拿最后一個數覆蓋他，然后對這個數調整
cin >> k;
k = ph[k];
heap_swap(k,cnt);
cnt--;
up(k); // 不管交換后最后一個的值是大還是小，都先上浮或下浮一遍.
down(k);
}
else if(op == "C"){
cin >> k >> x;
k = ph[k]; // 找到第k數所對應的下標
h[k] = x; // 將對應的位置修改值
up(k); // 調整修改后的數的位置
down(k);
}
else if(op == "PM"){
cout << h[1] << endl;
continue;
}
else{ // "DM"刪除最小值
heap_swap(1,cnt);
cnt--;
down(1); // 只能向下調整
}
}
return 0;
}